III. A. Du cadran solaire équatorial à d'autres types de cadrans : Du cadran solaire équatorial au cadran solaire méridional

       1. Expérience : cadran en plexiglas transparent

Sur de nombreux bâtiments anciens se trouvent des cadrans solaires. Mais il suffit de regarder autour de nous pour nous rendre compte que les cadrans sont le plus souvent positionnés sur les murs. En effet, dans le passé, les cadrans avaient une fonction pratique: les gens lisaient l'heure dessus. De ce fait, les cadrans étaient placés sur les murs, là où tout le monde pouvait les voir.

Nous allons dans un premier temps nous intéresser au cadran solaire vertical le plus simple : le cadran solaire méridional. Ce dernier a la particularité d’être orienté vers le Sud.

Nous avons réalisé un cadran solaire en plexiglas transparent. Nous sommes en effet parties d’une plaque en plexiglas car nous avons remarqué que, après le solstice d'hiver, notre première maquette de cadran solaire en papier n'indiquait plus l'heure. Nous nous sommes ensuite rendues compte que les rayons du soleil ne pouvant pas passer à travers le papier, il était normal que notre cadran ne puisse pas indiquer l'heure. Les rayons du soleil n'avaient pas la même trajectoire au solstice d'été et au solstice d'hiver (c'est pour cela que notre cadran en papier indiquait l'heure lorsque nous l'avons construit le 17 octobre, mais qu'il ne fonctionnait plus après le 21 décembre). Ensuite, nous avons été au collège Vendôme (Lyon 6^ème) pour plier notre plaque à l’aide de leur thermoplieuse. Nous avons plié notre plaque en deux parties égales dans un angle de :

90- φ_Lyon=90-45=45°

Ensuite, nous avons troué la plaque pour faire passer le gnomon. Nous nous sommes arrangées pour que le gnomon passe par le centre de la surface du cadran solaire équatorial.

Le gnomon se situe au milieu de la surface du cadran équatorial. Soit :

      
Nous voulons que le gnomon soit perpendiculaire à la face du cadran équatorial :

x=w/2=50/2=25

y=z=32,3

x’ est la projection de x sur le cadran horizontal. AC est parallèle à x. donc par projection, CB parallèle à x’.

Nous nous plaçons dans le triangle ABC. ABC est isocèle et rectangle.

AC=AB=(w/2)/2=50/4=12,5

D’après Pythagore :

CB²=AC²+AB²=2AC²=2(12,5²)=312,5

CB=√312,5=17,7

Ainsi, feront un trou au milieu dé la face du cadran équatorial. Un deuxième trou se trouvera:

o Au milieu de la largeur de la face du cadran équatorial

o à 17,7cm du du point d'intersection entre y et la droite représentant le milieu de la largeur de cette face.

Le style passera par ces trous.

Nous projetons les lignes horaires du cadran équatorial sur le cadran horizontal. Nous marquons l’intersection de chaque droite avec y. Une droite est composée de deux demi droites marquant des heures opposées. (exemple. Demi-droite marquant 0h00 et demi-droite marquant 12h00 ne font qu’une droite ; demi droite marquant 1h00 et demi droite marquant 13h00 ne font qu’une droite). Ensuite, nous joignant chaque point avec le gnomon. On obtient les lignes horaires du cadran vertical.

Table du cadran équatorial.

Face du cadran équatorial
et horizontal.

Certaines lignes horaires ne se coupaient pas directement avec la droite y.
Nous avons été obligé de prolonger la droite y et de prolonger
 le ligne horaire que l'on voulait inscrire sur la table du cadran horizontal.

Le cadran solaire une fois fini.

Pourquoi fait-on ça ? Quand il est 12h00 sur un cadran équatorial, l’ombre est une droite confondue avec la droite horaire marquant 12h00. Cette ombre passe par un point qui appartient à la fois au plan de la table du cadran horizontal et sur celui de la table du cadran équatorial. Ce point se situe sur la droite y. Ainsi, tous les points sur y appartiennent à 2 droites devant forcément indiquer la même heure. Ensuite, comme les ombres sont des demi-droites dont l’origine est le gnomon, on relit ces points au gnomon.

       2. Retrouver les lignes horaires du cadran méridional par le calcul

On cherche à retrouver les lignes horaires du cadran horizontal à partir des lignes horaires du cadran équatorial.

On cherche à déterminer la longueur qu'on appelle "opposé". Cette longueur est présente à la fois dans le plan de la table du cadran équatorial et dans le plan de la table du cadran horizontal. On a d'après les figures ci-dessus, ADC un triangle rectangle en C. Donc: 

Tanα =opposé/adjacent=opposé/L1

Opposé=L1*Tanα 

Sur la figure, on voit que BCD est rectangle en C. Donc:

Tanβ=opposé/adjacent=opposé/L2=(L1tanα)/L2 

Vu de côté, on a:

D'autre part. 

Cos(90-φ)=Sinφ

Car : Cos(A+B)=CosACosB-SinASinB

Ici, A=90 et B=-φ

Cos(90-φ)=Cos90Cos(-φ)-Sin90Sin(-φ) 

Cos(90) est égal à 0, et Sin(90) vaut 1, donc:

Cos(90-φ)=0Cos(-φ)-Sin(-φ)=  -Sin(-φ).

Cos(90-φ)= -(-Sin(φ))=Sin(φ).

Cos(90-φ)=Sinφ

Ainsi:

Cos(90-φ)=Sinφ=adjacent/hypothénuse=L1/L2

Donc:

L2=L1/Sinφ

On avait trouvé:Tanβ=(L1tanα)/L2 

Or L2=L1/Sinφ

On remplace : Tanβ=(L1tanα)/L2=(L1tanα)/(L1/Sinφ)=TanαSinφ

Si on rentre la formule dans Excel on obtient:

Angle de cadran équatorial en degré (α)	Latitude(φ)	Angle du cadran horizontal en degré (β)
0	45	-
15	45	10,73
30	45	22,21
45	45	35,26
60	45	50,77
75	45	69,25
90	45	90,00
105	45	-                   69,25
120	45	-                   50,77
135	45	-                   35,26
150	45	-                   22,21
165	45	-                   10,73
180	45	-                      0,00

Les angles ont toujours pour côté  la ligne horaire de 12h: 

105° revient en fait à -15°. C'est pour cela que sa projection sur le cadran horizontal est un angle dont la valeur est négative.

Nous mesurons les angles de notre cadran solaire horizontal créé à partir de l’expérience. Les angles ont bien la mesure de ceux trouvés mathématiquement. On fera remarquer que nous sommes passées d’un cadran équatorial en cadran horizontal (par soucis de commodité pour l’expérience), mais que les mêmes principes sont applicables pour passer d’un cadran équatorial en cadran méridional: il suffit juste de retourner le cadran en plexiglas. La face du cadran équatorial reste la face d'un cadran équatorial, mais la face du cadran horizontal devient la face du cadran vertical. De ce fait, le style reste perpendiculaire à la table du cadran équatorial.

On fera remarquer que L1=L2 quand φ=90.

Or φ=90 au pôle Nord. C’est pour cela qu’un simple gnomon indique la bonne heure au pôle Nord : le cadran équatorial et le cadran horizontal sont confondus !